Waarheid of leugen

In deze tekst wil ik het hebben over logica, niet over taal en interpretatie. In de context van waarheid of leugen zou ik het over een leugenaar kunnen hebben. Maar wanneer is iemand een leugenaar? Als hij 'altijd' liegt of als hij soms liegt? Ik gebruik dan ook begrippen waarvan ik meen dat ze voor iedereen hetzelfde betekenen (op dezelfde manier gedefinieerd zijn).

Er zijn verschillende soorten zinnen. Er zijn de mededelende, vragende en bevelende zinnen. Ik wil het hebben over uitspraken waarvan je je kan afvragen of ze waar zijn of niet. Het gaat dan al zeker om mededelende zinnen (uitgezonderd de retorische vragen). Voor deze zinnen is het mogelijk om je af te vragen of ze waar zijn. Natuurlijk kan dit subjectief zijn. Bijvoorbeeld de uitspraak "Jij bent de mooiste" :-). Of iets mooi is is subjectief. Over zulke uitspraken heb ik het niet, enkel over uitspraken waarvan je, althans in theorie, zou kunnen nagaan of ze waar zijn of niet. Als ik vanaf nu dan ook over een uitspraak spreek, bedoel ik zo'n uitspraak.

Mogelijke waarheidswaarden

Bekijk bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten". Afhankelijk van de situatie (er zijn twee relevante situaties, namelijk de situatie waarbij ik gisteren frieten heb gegeten en deze waarbij ik gisteren geen frieten heb gegeten) is deze uitspraak een waarheid of een leugen. Met een situatie bedoel ik vanaf nu een mogelijke toestand, zonder contradicties en zonder dat daar expliciet uitspraken over de waarheidswaarde van de betreffende uitspraak gedaan worden.
Een uitspraak kan ook altijd (in iedere situatie) een leugen zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten en ik heb gisteren de hele dag niets gegeten".
Een uitspraak kan ook altijd de waarheid zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten of ik heb gisteren geen frieten gegeten".

Echter kunnen er problemen optreden. Een uitspraak kan ook een paradox zijn.
Dit betekent dan dat er eigenlijk een probleem is met de uitspraak. De uitspraak is een leugen noch de waarheid. Neem bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg". Neem een willekeurige situatie. Stel dat de uitspraak waar is en ik dus de waarheid spreek, dan zegt de uitspraak net dat ik lieg, wat niet kan. Echter omgekeerd, stel dat ik lieg, dan spreek ik volgens de uitspraak de waarheid, wat ook niet kan.

Echter kan een uitspraak het toch simpelweg allebei zijn.
Bekijk "ik spreek de waarheid" (of "dit is waar"). Deze uitspraak kan zowel de waarheid als een leugen zijn. Als de uitspraak waar is zegt ze dat ze waar is, en anders zegt ze terecht dat ze niet waar is. Er is echter geen enkele reden om in een bepaalde situatie (waartoe dus geen expliciete uitspraken over de waarheidswaarde van de uitspraak behoren) afhankelijk van hoe de situatie is uit te maken of de uitspraak nu waar is of onwaar is. Beide veronderstellingen leiden nooit tot een tegenspraak). De uitspraak is het dus allebei, zowel waarheid als leugen. Vanaf nu noemen we zulke uitspraken 'onbeslist'. Merk op dat deze uitspraak niet equivalent is met "ik lieg niet" (of "dit is geen leugen"), hoewel dit ook een onbeslistheid is, maar we spreken af dat wanneer we besluiten dat een uitspraak een onbeslistheid is dit enkel een onbeslistheid is, dus noch een leugen noch een waarheid. Als je dus zegt "ik lieg niet" is dit equivalent met "ik zeg een waarheid, een paradox of een onbeslistheid".

In feite hebben we dus nu vier mogelijkheden voor de waarheidswaarde van een uitspraak.
Afhankelijk van de situatie kan de waarheidswaarde echter verschillen. Echter zijn soms bepaalde mogelijkheden uitgesloten. De eerste uitspraak in deze tekst bijvoorbeeld, "ik heb gisteren frieten gegeten" is afhankelijk van de situatie de waarheid of een leugen. Het is echter in geen enkele situatie een paradox of onbeslist.

De basis om deze besluiten te trekken is dat een uitspraak slechts 1 van de 4 waarheidswaarden kan hebben in een bepaalde situatie.

Let verder ook nog op het volgende.
Bij de uitspraak "dit is een leugen" besluiten we dat de uitspraak een paradox is. Je zou nu bijvoorbeeld kunnen zeggen: deze uitspraak is toch ook geen paradox, want als het een paradox is dan is het toch een leugen dat de uitspraak een leugen is, dus de uitspraak is dan ook een leugen en dat kan niet. Zo ver mag je dus niet gaan. Een paradox is niet echt "iets" zijn, maar betekent gewoon "noch waar, noch onwaar", omdat dat allebei op onmogelijk bleek uit te draaien. Na deze 'controle' staat dus vast dat de zin "noch waar, noch onwaar" is, wat we een paradox noemen, en is de kous af.
Hetzelfde geldt ook voor de onbeslistheid van een uitspraak. Het is hier zelfs nog erger. Het lijkt namelijk nogal stom. Als een uitspraak onbeslist is dan is ze zowel waar als niet waar, maar dat kan natuurlijk logisch niet (dat is net de basis van het nemen van onze besluiten over wat een uitspraak kan zijn). Dus een uitspraak is nooit onbeslist. Ook hier mag je echter weer zo ver niet gaan. Onbeslist betekent dus gewoon dat (in een bepaalde situatie) het veronderstellen van het waar zijn noch het veronderstellen van het onwaar zijn van de uitspraak tot een contradictie leidt.

De waarheidswaarden kunnen we dus bijvoorbeeld als volgt voorstellen: waar door 10, onwaar door 01, een paradox door 00 en onbeslist door 11.

Categorieën

Een eenvoudig sommetje leert dat er maximaal 16 categorieën uitspraken zijn. Eén categorie valt al zeker weg: in iedere situatie is een uitspraak namelijk één van de vier mogelijkheden. Blijven er nog maximaal 15 categorieën over.

Daarom een lijstje met alle mogelijkheden. We beginnen met drie aparte gevallen. Een uitspraak kan afhankelijk van de situatie

  1. Een waarheid of een leugen zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten".
  2. Een leugen zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten en ik heb gisteren de hele dag niets gegeten" of misschien moeilijker "dit is een paradox" of "deze uitspraak is onbeslist".
  3. Een waarheid zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten of ik heb gisteren geen frieten gegeten" of "dit is geen paradox" of "deze uitspraak is niet onbeslist".

    En nu de andere gevallen waarbij we een lieg-variant hebben. Een uitspraak kan

  4. Een paradox zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg".
  5. Onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg niet".
  6. Een leugen of een paradox zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg altijd".
  7. Een waarheid of een paradox zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg niet nooit".
  8. Een leugen of onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg nooit".
  9. Een waarheid of onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg niet altijd".
  10. Een waarheid, een paradox of onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg soms en soms niet".
  11. Een leugen, een paradox of onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik lieg altijd of ik lieg nooit".

    Voor bovenstaande gevallen konden we ook gaan combineren met en of of. Dat gaan we nu voor de andere doen. Een uitspraak kan

  12. Een waarheid, een leugen of een paradox zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten of ik lieg altijd".
  13. Een waarheid, een leugen of onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten of ik lieg nooit".
  14. Een waarheid, een leugen, een paradox of onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "ik heb gisteren frieten gegeten of ik lieg altijd of ik lieg nooit".

    Blijft nog de laatste mogelijkheid over. We gebruiken de dubbele implicatie. Een uitspraak kan

  15. Een paradox of onbeslist zijn, bijvoorbeeld de uitspraak "deze uitspraak is een leugen als en slechts als ik gisteren frieten heb gegeten".

En daarmee hebben we voor elke categorie er eentje gehad.

Bij bovenstaande categorisering ga ik er intuïtief van uit dat we de toekomst niet kunnen voorspellen, of tenminste niets kunnen zeggen over dingen die nog moeten gebeuren. Dat is eigenlijk nogal wiedes. Ik verduidelijk even wat ik bedoel. Stel bijvoorbeeld dat een geldige situatie zou zijn dat iemand altijd de waarheid spreekt, ook voor de dingen die hij nog moet zeggen. Dan kan "ik heb gisteren frieten gegeten" in deze situatie afhankelijk van het feit of de persoon effectief frieten gegeten heeft ofwel een waarheid, ofwel een paradox zijn. Echter is er een probleem, aangezien het de waarheid moet zijn. Eigenlijk kunnen we niet anders dan besluiten dat het gegeven "De persoon spreekt altijd de waarheid (ook in de toekomst)" fout is. De beschreven situatie is ongeldig omdat ze in de toekomst tot problemen kan leiden, omdat de waarachtigheid van de situatie ook van de toekomst afhangt. Het moet in theorie verifieerbaar zijn dat de situatie klopt. Zelfs situaties die bijvoorbeeld stellen dat er over één seconde nog iets zal bestaan zijn ongeldig. Uitspraken die verwijzen naar de toekomst (waaronder stellingen van de beschreven situaties) moeten bijgevolg als ongeldig beschouwd worden, aangezien de vraag naar de waarheid ervan ongeldig is. We kunnen ze niet op hun waarheidswaarde toetsen. Dit is nu ook weer niet zó triviaal aangezien hiermee bedoeld wordt dat we er helemaal geen uitspraken over kunnen doen. We kunnen ze niet plaatsen onder één van de 15 categorieën. Als zo'n dingen ("ik lieg altijd" e.d.) hierboven gebruikt worden wordt dan ook altijd "tot nu toe" er impliciet bijgedacht.

Merk ten slotte op dat vroegere uitspraken van een persoon niet alleen leugens en waarheden zijn, maar dat de persoon ook al onbeslistheden of paradoxen gezegd kan hebben. Dit maakt niet zoveel uit aangezien het hier altijd slechts gewoon over het wel of niet liegen (welke laatste dus op één van de andere drie mogelijkheden duidt) gaat.

Fouten of opmerkingen, stuur me een mail.

PS: Ik ben bezig met een complete herwerking van de tekst, maar opmerkingen en suggesties zijn nog steeds welkom. Het probleem met dit onderwerp is het moeilijke evenwicht tussen taal en logica.