Rationale kwadratisch vormen

Gehele oplossingen voor kwadratische vormen

Rationale kwadratische vormen zijn homogene veeltermen van de tweede graad over de rationale getallen, dus met coëfficiënten rationale getallen. We gaan op zoek naar oplossingen voor deze vergelijkingen. Oplossingen in de rationale getallen wel te verstaan. Alle variabelen nul is natuurlijk een oplossing, dus dit sluiten we uit. Deze vraagstelling is equivalent met de vraagstelling van het vinden van gehele oplossingen voor gehele kwadratische vormen, door de noemers weg te vermenigvuldigen. Een bekend voorbeeld is dan het probleem van de Pythagoreïsche drietallen. Een eerste vraag is wanneer zulke vergelijkingen oplosbaar zijn. Dit is met zekerheid zo als het aantal variabelen minstens vijf is. En hoe vind je oplossingen? Deze vragen worden in deze tekst, mijn thesisverhandeling, behandeld.

Om oplossingen te vinden zijn java-klassen geschreven. Hier zijn de bijhorende java-klassen te vinden in een zip-bestand, samen met het benodigde javabook-package om de klassen te testen. De klasse Quaternairplus.java is nog niet volledig geïmplementeerd. Het algoritme voor vijf variabelen ontbreekt zodat het algoritme zeker nog niet werkt voor kwadratische vorm in vijf en meer variabelen. In de klasse Ternair.java zit een fout (eigenlijk in LLL.java). Er is een alternatief geïmplementeerd in Ternair2.java.

Geplaatst op 29 augustus 2007.

Wijzigingen worden hier bekend gemaakt.

16-02-2009 - Spelfouten

  • voorlaatste alinea p2 - "beïnvloedt" in plaats van "beïnvloed"
  • bovenaan p3 - "dienen we" in plaats van "dien ik"
  • alinea onder de definities p33 - "een" schrappen aan het begin van de tweede regel
  • p50, 6.1.1 eerste alinea - "equivalent met $\alpha\equiv\beta\mod p^m$." in plaats van "equivalent met ."
  • Stelling 8.7, p81 - "kleinere" in plaats van "kelinere"
  • opmerking op p85 - "ontstaat" in plaats van "onstaat"

19-09-2007 - Fout op bladzijde 79 verbeterd

  • Onderaan op bladzijde 79 moet drie keer een minteken staan voor het rechterlid van de drie congruenties.

07-09-2007 - Plaatsing definitieve versie